Diariamente, tomamos decisões com relação a eventos incertos:
Devo investir na bolsa?
Vale a pena fazer um plano odontológico?
Devo contratar um seguro para o meu carro?
Devo levar um guarda-chuva?
Devo me matricular numa disciplina eletiva com baixa taxa de aprovação?
Experimentos Aleatórios
Experimento: qualquer processo que produza uma observação ou resultado
Experimento Determinístico: é aquele que, dada uma ação controlada, sabemos exatamente qual será o resultado obtido
Exemplo: lançamento de um dado com todas as faces iguais a 6 Único resultado possível? 6
Experimento Aleatório: é aquele em que não se tem certeza sobre seus resultados, a priori. Mútiplos resultados podem ser obtidos a partir de uma única ação. Cada vez que se repete o experimento, o resultado pode ser diferente.
Exemplo: lançamento de um dado de seis faces Resultados possíveis: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Probabilidade
Probabilidade: medida de incerteza sobre certos eventos ou características de interesse.
Tais eventos, em geral, estão associados a experimentos aleatórios.
Aleatorização:
Jogar um dado.
Jogar uma moeda.
Girar uma roleta.
Ex: para aleatorizar dois tratamentos entre pacientes, pode-se lançar uma moeda. Se sair “cara” o paciente recebe a droga A, se sair “coroa”, recebe a droga B.
Exemplo: Lançamento de dado
Você está jogando Ludo: um dado é usado para movimentar as peças.
Em certo ponto do jogo, durante a sua vez, o 6 sai 3 vezes seguidas e você vence o jogo!
Dentre os de 100 lançamentos do dado durante a sua vez, seu oponente no jogo comenta que o 6 saiu 23 vezes.
Seu oponente então reclama que o dado estava te favorecendo com tantos 6, portanto o dado não era “justo”.
Exemplo: Lançamento de dado
Se o dado é “justo”, quantos 6 você espera que ocorram em 100 lançamentos?
Se um dado “justo” é lançado diversas vezes, esperamos que o 6 ocorra \(1/6\) das vezes.
100 lançamentos: \(100/6\approx 17\) vezes.
É muito improvável que o 6 saia 23 vezes em 100 lançamentos? Como verificar?
Lance o dado 100 vezes.
Conte o número de 6 que aparecem.
Repita várias vezes esse processo.
Você obtém assim a distribuição de frequências do 6 em 100 lançamentos do dado.
Simulação 1: lançamento de um dado 100 vezes
1
2
3
4
5
6
Freq
12
21
28
6
20
13
Simulação 2: lançamento de um dado 100 vezes
1
2
3
4
5
6
Freq
16
19
13
16
14
22
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
1
2
3
4
5
6
Freq
11
21
22
13
19
14
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 2: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 1: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação: lançamento de um dado 100 vezes
A cada simulação (100 lançamentos e anotando o total de 6) obtivemos um resultado diferente: 13, 22 e 14.
Se repetirmos a simulação 1000 vezes, temos uma idéia da distribuição de frequências da proporção de 6 em 100 lançamentos.
Média: 0.167. Mediana: 0.17.
Simulação 4: lançamento de um dado 5000 vezes
Com poucos lançamentos, a proporção de 6 pode flutuar bastante, mas com o aumento do número de lançamentos, a proporção acumulada de 6 estabiliza em \(1/6\).
Lei dos Grandes Números
O resultado da simulação é um caso particular da Lei dos Grandes Números, resultado provado em 1689 pelo matemático suíço Jacob Bernoulli.
Se um evento de probabilidade p é observado repetidamente em ocasiões independentes, a proporção da frequência observada deste evento em relação ao total número de repetições converge em direção a p à medida que o número de repetições se torna arbitrariamente grande.
Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, a probabilidade de um resultado acontecer é a proporção de vezes que o resultado ocorreu quando consideramos muitas observações do fenômeno em questão.
Quando dizemos que a probabilidade do \(6\) sair no dado é \(1/6\), estamos dizendo que a proporção esperada de \(6\) em vários lançamentos (observações) do dado é \(1/6\).
Quando a previsão do tempo diz que a chance de chuva para hoje é 70%, quer dizer que para vários dias observados no passado com condições atmosféricas equivalentes ao dia de hoje a proporção observada de dias de chuva foi \(0.7\).
Como calcular probabilidades?
Em um fenômeno aleatório, a probabilidade de um resultado acontecer é a proporção de vezes que o resultado ocorreu quando consideramos muitas observações do fenômeno em questão.
Esta definição nem sempre é útil.
Quando a NASA lançou o primeiro ônibus espacial, como os cientistas sabiam a probabilidade de sucesso? Não havia nenhum dado sobre lançamentos no passado para que se pudesse calcular a probabilidade de sucesso.
Ônibus espacial Columbia
Probabilidade
Algumas vezes, é possível fazer alguma suposição sobre o fenômeno aleatório considerado.
Ao lançar um dado, podemos assumir que cada valor de \(1\) a \(6\) tenha a mesma chance de ocorrer: \(1/6\).
Ao lançar uma moeda, podemos assumir que ela pode cair de um lado ou de outro com a mesma chance: \(1/2\).
Outras vezes, podemos utilizar a distribuição de frequências observadas como uma estimativa das probabilidades.
Exemplo: dado
Estudar as probabilidades de ocorrência das faces de um dado.
Procedimento Empírico: lançar o dado um certo número \(n\) de vezes e contar o número de vezes, \(n_i\), que a face \(i=1,2,3,4,5,6\) ocorre.
Distribuição empírica das probabilidades:
\[f_{i}=\frac{n_{i}}{n}.\]
Para diferentes vezes que esse experimento for realizado, a distribuição de frequência terá resultados diferentes (exemplo anterior, lançamento de 100 dados, várias vezes).
No entanto, espera-se que esses resultados, apesar de distintos, sejam semelhantes.
Distribuição de Probabilidade
Procedimento Teórico: construir a distribuição de frequências populacionais (probabilidades) através de suposições teóricas.
Suposições:
só podem ocorrer 6 faces: \(\{1,2,3,4,5,6\}\);
o dado é perfeitamente equilibrado;
então, cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes, ou seja \(f_{i}=\frac{1}{6}\).
Face
1
2
3
4
5
6
Total
Freq. Teórica
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{6}\)
1
Espaço Amostral
Para quantificar incerteza em fenômenos aleatórios usando probabilidades, precisamos primeiro especificar o conjunto de todos os possíveis resultados do fenômeno em questão.
Espaço Amostral: todos os resultados possíveis do experimento (aleatório), denotado por \(\Omega=\{\omega_{1},\omega_{2},... \}\).
Probabilidade: \(P(\omega)\), para cada “ponto amostral” \(\omega\).
Exemplos de Espaço amostral
Se o fenômeno considerado é observar o sexo de uma criança ao nascer:
\(\Omega=\{F, M\}\)
Se o experimento consiste em observar os resultados ao lançar uma moeda duas vezes:
Então \(\omega_{1}=(C,C)\); \(\omega_{2}=(C,X)\); \(\omega_{3}=(X,C)\) e \(\omega_{4}=(X,X)\).
Considerando que a moeda é honesta: \[P(\omega_{i})=\frac{1}{4}\,,\quad\forall i=1,2,3,4\,.\]
Seja o evento \(A=\{\omega_{1}, \omega_{4}\}=\) obter duas faces iguais: \[P(A)=P(\{\omega_{1},\omega_{4}\})=P(\omega_{1})+P(\omega_{4})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Equiprobabilidade
\(\Omega=\{\omega_{1},...,\omega_{n}\}\) finito.
Equiprobabilidade: Todos os elementos do espaço amostral tem a mesma probabilidade de acontecer, ou seja,
\[P(\omega_{i})=\frac{1}{n}, \qquad \forall i=1,2, \ldots, n\] Seja \(A=\{\omega_{A_1},...,\omega_{A_m}\}\) um evento em \(\Omega\) com \(m\leq n\) pontos amostrais, então
\[P(A)=\frac{m}{n}\]
Probabilidade de um evento
A probabilidade de um evento \(A\), denotada por \(P(A)\), é obtida somando as probabilidades de cada elemento do espaço amostral que pertence ao evento \(A\).
Quando cada elemento do espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer: \[P(A)=\frac{\mbox{número de elementos no evento $A$}}{\mbox{número de elementos do espaço amostral}}\]
Exemplos
Exemplo 1: moeda honesta é lançada uma vez \(\Omega= \{C, X\}\)
Exemplo: lançamento de um dado com todas as faces iguais a 6 
Exemplo: lançamento de um dado de seis faces 
ou 
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